Application à l’équation de la chaleur

Comme application simple pour valider et mettre en application la méthode de résolution de système liénaire ci-dessus, on vous demande de l’appliquer au problème de l’équation de la chaleur sur cette page.

Équation de la chaleur

On va modéliser l’équation de la chaleur en régime permanent avec l’équation suivante :

$$\Delta T + f = 0$$

où $\Delta$ est l’opérateur Laplacien, $T$ le température, et $f$ une fonction représentant la production de chaleur dans le volume.

En 2 dimensions, on peut réécrire l’équation :

$$\boxed{\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + f(x, y) = 0}$$

Discrétisation spatiale

On veut modéliser le problème dans une carré $[0;1] \times [0,1]$. On va devoir discrétiser l’espace. Pour cela, on va utiliser la méthode des différences finies.

Discrétisation

On va représenter la température en certains points d’une grille $N \times N$. La température en $(x_i, y_j)$ est notée $t_{i,j}$, $i$ et $j$ étant des entiers allant de 1 à $N$.

$$t_{i,j} = T(x_i, y_j) \text{ avec } \begin{cases} x_i = \frac{i}{N+1} \\\ y_j = \frac{j}{N+1} \end{cases}$$

On note la distance entre les points adjacents $h = \frac{1}{N+1}$.

Discrétisation numérique

Comment évaluer les dérivées partielles de $T$ ? Avec la méthode des différences finies, on utilise le développement de Taylor à l’ordre 2 :

$$ \begin{aligned} f(x + h) &= f(x) + h f’(x) + \frac{h^2}{2} f’’(x) + \ldots + \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(x) + o(h^n)\\\ f(x - h) &= f(x) - h f’(x) + \frac{h^2}{2} f’’(x) + \ldots + \frac{(-1)^n h^n}{n!} f^{(n)}(x) + o(h^n) \end{aligned} $$

En soustrayant, on peut ainsi estimer les dérivées partielles :

$$ \begin{aligned} \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_{i,j} &\approx \frac{T(x_i + h, y_{j}) - T(x_i - h, y_{j})}{2h} = \frac{t_{i,j+1} - t_{i,j-1}}{2h} \\\ \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_{i,j} &\approx \frac{T(x_i, y_j + h) - T(x_i, y_j - h)}{2h} = \frac{t_{i+1,j} - t_{i-1,j}}{2h} \end{aligned} $$

En sommant, on obtient pour les dérivées secondes :

$$ \begin{aligned} \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \right)_{i,j} \approx \frac{T(x_i + h, y_j) - T(x_i - h, y_j) - 2 T(x_i, y_j)}{h^2} = \frac{t_{i,j+1} - t_{i,j-1} - 2 t_{i,j}}{h^2} \\\ \left( \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right)_{i,j} \approx \frac{T(x_i, y_j + h) - T(x_i, y_j - h) - 2 T(x_i, y_j)}{h^2} = \frac{t_{i+1,j} - t_{i-1,j} - 2 t_{i,j}}{h^2} \end{aligned} $$

Résolution du système

On représente le champ de température $\bar{T}$ par un vecteur de taille $N^2$ :

$$ \bar{T} = \left( \underbrace{t_{1,1}; t_{1,2}; \ldots ;t_{1,N}}_{\text{ligne 1}} \hspace{.3cm} \underbrace{t_{2,1}; t_{2,2}; \ldots ;t_{2,N}}_{\text{ligne 2}} \hspace{.3cm} \cdots \hspace{.3cm} \underbrace{t_{N,1}; \ldots ;t_{N,N}}_{\text{ligne } N} \right) ^t $$

L’opérateur Laplacien sera alors représenté par une matrice $A$ de taille $N^2 \times N^2$ et la résolution de l’équation correspondra à la résolution d’un système linéaire :

$$A \bar{T} = \bar{F}$$

où $\bar{F}$ dépendra du flux de chaleur imposé en chaque point.

Laplacien