Comme application simple pour valider et mettre en application la méthode de résolution de système liénaire ci-dessus, on vous demande de l’appliquer au problème de l’équation de la chaleur sur cette page.
On va modéliser l’équation de la chaleur en régime permanent avec l’équation suivante :
$$\Delta T + f = 0$$
où $\Delta$ est l’opérateur Laplacien, $T$ le température, et $f$ une fonction représentant la production de chaleur dans le volume.
En 2 dimensions, on peut réécrire l’équation :
$$\boxed{\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + f(x, y) = 0}$$
On veut modéliser le problème dans une carré $[0;1] \times [0,1]$. On va devoir discrétiser l’espace. Pour cela, on va utiliser la méthode des différences finies.
On va représenter la température en certains points d’une grille $N \times N$. La température en $(x_i, y_j)$ est notée $t_{i,j}$, $i$ et $j$ étant des entiers allant de 1 à $N$.
$$t_{i,j} = T(x_i, y_j) \text{ avec } \begin{cases} x_i = \frac{i}{N+1} \\\ y_j = \frac{j}{N+1} \end{cases}$$
On note la distance entre les points adjacents $h = \frac{1}{N+1}$.
Comment évaluer les dérivées partielles de $T$ ? Avec la méthode des différences finies, on utilise le développement de Taylor à l’ordre 2 :
$$ \begin{aligned} f(x + h) &= f(x) + h f’(x) + \frac{h^2}{2} f’’(x) + \ldots + \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(x) + o(h^n)\\\ f(x - h) &= f(x) - h f’(x) + \frac{h^2}{2} f’’(x) + \ldots + \frac{(-1)^n h^n}{n!} f^{(n)}(x) + o(h^n) \end{aligned} $$
En soustrayant, on peut ainsi estimer les dérivées partielles :
$$ \begin{aligned} \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_{i,j} &\approx \frac{T(x_i + h, y_{j}) - T(x_i - h, y_{j})}{2h} = \frac{t_{i,j+1} - t_{i,j-1}}{2h} \\\ \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_{i,j} &\approx \frac{T(x_i, y_j + h) - T(x_i, y_j - h)}{2h} = \frac{t_{i+1,j} - t_{i-1,j}}{2h} \end{aligned} $$
En sommant, on obtient pour les dérivées secondes :
$$ \begin{aligned} \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \right)_{i,j} \approx \frac{T(x_i + h, y_j) - T(x_i - h, y_j) - 2 T(x_i, y_j)}{h^2} = \frac{t_{i,j+1} - t_{i,j-1} - 2 t_{i,j}}{h^2} \\\ \left( \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right)_{i,j} \approx \frac{T(x_i, y_j + h) - T(x_i, y_j - h) - 2 T(x_i, y_j)}{h^2} = \frac{t_{i+1,j} - t_{i-1,j} - 2 t_{i,j}}{h^2} \end{aligned} $$
On représente le champ de température $\bar{T}$ par un vecteur de taille $N^2$ :
$$ \bar{T} = \left( \underbrace{t_{1,1}; t_{1,2}; \ldots ;t_{1,N}}_{\text{ligne 1}} \hspace{.3cm} \underbrace{t_{2,1}; t_{2,2}; \ldots ;t_{2,N}}_{\text{ligne 2}} \hspace{.3cm} \cdots \hspace{.3cm} \underbrace{t_{N,1}; \ldots ;t_{N,N}}_{\text{ligne } N} \right) ^t $$
L’opérateur Laplacien sera alors représenté par une matrice $A$ de taille $N^2 \times N^2$ et la résolution de l’équation correspondra à la résolution d’un système linéaire :
$$A \bar{T} = \bar{F}$$
où $\bar{F}$ dépendra du flux de chaleur imposé en chaque point.