Pendule à N maillons
Un système dynamique très simple peut être construit en considérant un pendule constitué d’un ensemble de $N$ solides de masse $m$ reliés entre eux par des tiges sans masse de même longueur $l$, les tiges étant supposées en rotation les unes par rapport aux autres (le système est supposé confiné à un plan). Par exemple, pour un pendule à deux maillons, le système est modélisé par le dessin suivant :
Ici, les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ permettent de spécifier entièrement le système. On se propose alors d’examiner les évolutions de ce système par rapport au temps, à partir d’une position à vitesse nulle.
- Questions :
- Modéliser le pendule à un unique maillon. Implémenter une fonction permettant de déterminer la fréquence d’oscillation du système, en fonction de l’angle initial $\theta$. En traçant cette fréquence en fonction de $\theta$, montrer que cette fréquence pour de petites oscillations est égale à $\sqrt{\frac{g}{l}}$.
- Modéliser le pendule à deux maillons. On pourra s’inspirer de la page suivante pour les équations.
Il se trouve que le pendule à deux maillons est un système dynamique chaotique, ce qui peut se voir à travers la sensibilité des trajectoires aux conditions initiales.
- Question :
- Dessiner la trajectoire de l’extrémité du pendule à deux maillons en fonction du temps (il est possible d’obtenir des séquences du style de cette vidéo)
En considérant plusieurs trajectoires avec des conditions initiales différentes mais très proches, mettre en exergue la dépendance aux conditions initiales de ce système.
- Question :
- Une autre manière de mettre en valeur les propriétés du système consiste à déterminer le temps de premier retournement. Ecrire une fonction permettant de calculer ce temps, afin de tracer une carte du type de celle dessinées sur cette page.