Dans cette partie, on s’intéresse à la modélisation d’un problème apparemment simple de dynamique du solide : le problème à trois corps. Dans un premier temps, on s’attache à modéliser les interactions gravitationnelles classiques entre deux astres, puis on introduit un troisième corps massif pour mettre en évidence les modifications du système.
Considérons un système physique composé de deux corps massifs A, B
ponctuels placés dans un plan. Chacun de ces deux corps est soumis
uniquement à la force d’interaction gravitationnelle dûe à la présence
de l’autre corps. Les caractéristiques de chaque corps sont donc :
| Corps A | Corps B | |
|---|---|---|
| Masse | $m_A$ | $m_B$ |
| Position | $\left[\begin{array}{c}x_A\\y_A\end{array}\right]$ | $\left[\begin{array}{c}x_B\\y_B\end{array}\right]$ |
| Vitesse | $\left[\begin{array}{c}\dot{x_A}\\ \dot{y_A}\end{array}\right]$ | $\left[\begin{array}{c}\dot{x_B}\\ \dot{y_B}\end{array}\right]$ |
Ces corps sont supposés de masse non nulle, placés initialement à des
positions distinctes. Pour rappel, la force d’interaction
gravitationnelle entre deux corps (par exemple la force que A subit
sous l’attraction de B) est donnée par :
$$\vec{F}_{B \rightarrow A} = \displaystyle \frac{\mathcal{G} m_A m_B}{||AB||^3} \vec{AB}$$
Par la suite, nous supposerons que la masse du corps A est largement
supérieure à la masse du corps B. Cela simplifie le problème en
impliquant que le corps A peut être supposé immobile, et insensible
à l’interaction gravitationnelle de B.
B en
utilisant l’équation fondamentale de la dynamique. De combien
d’inconnues avez-vous besoin pour modéliser entièrement votre
système ?Il est plus que fortement conseillé de rendre vos équations
adimensionnelles, afin de simplifier les calculs. Cela consiste à
simplifier les équations en éliminant les constantes inutiles. Ici en
particulier, une bonne idée consiste à considérer que la constante
$\mathcal{G} = 1$ (ce qui réduit proportionnellement la force subie
par A) et que les masses et distances sont des valeurs simples.
La partie suivante s’intéresse à une modification du modèle précédent,
appelée le problème à trois corps restreint. Dans ce nouveau système,
on suppose que le système contient un troisième corps C, lui aussi
de masse négligeable devant les masses de A et de B ($m_A » m_B » m_C$).
On pourra par exemple s’inspirer des valeurs suivantes :
$$ \begin{cases} m_A = 1 \\\ m_B = 0.01 \\\ ||AB|| = 1 \end{cases} $$
Le centre de gravité du système se situe donc à peu près au centre de
A, ce qui permet de se placer dans un référentiel placé au centre du
soleil, supposé fixe. Le corps B est supposé en rotation circulaire
autour du soleil, avec une période de $2\pi$ jours terrestres.
B connu et circulaire autour de
A, et ne modéliser que le mouvement de l’astéroïde).Résoudre ce système d’équations différentielles en utilisant une méthode de votre choix.
Comme le mouvement de B est connu, il est possible d’effectuer un
changement de base apres la fin du calcul (une rotation), de maniere a
ce que les corps A et B restent fixes. Il est alors possible de ne
s’intéresser qu’aux mouvements du corps C.
B reste fixe.C qui sont initialement très proches l’un de l’autre ?
En particulier, que deviennent les trajectoires au bout d’un
certain temps ?C initialement proche du dernier sommet du
triangle equilateral dont la base est formée par le segment
Soleil-Jupiter. Que constatez-vous ?Noter qu’il existe des solutions périodiques au problème général à n corps, dont certaines qu’il est possible de visualiser là.